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Lektion 4: Die statistischen Aussagen der Quantentheorie

4.1 Doppelspaltexperiment mit Lichtwellen - 4.2 Das Doppelspaltexperiment mit einzelnen Photonen und die Wahrscheinlichkeitsaussagen der Quantentheorie 
4.3 Präparation und Wahrscheinlichkeitsaussagen 4.4 Selbstkontrolle - 4.5 Zusammenfassung

 

In dieser Lektion werden wir einen ersten Blick auf die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik werfen. Wir werden das Verhalten einzelner Photonen am Doppelspalt betrachten und dabei auf die Notwendigkeit der statistischen Beschreibung von Quantenobjekten stoßen.
Da sich einzelne Photonen leider nur sehr schwierig im Realexperiment untersuchen lassen, werden wir ein Simulationsprogramm zum Doppelspaltexperiment benutzen.

Daneben werden eine Reihe von Begriffen eingeführt (z. B. der Begriff des statistischen Ensembles), die sich später noch als nützlich erweisen werden.

Falls Sie es noch nicht gemacht haben, laden Sie sich bitte jetzt das Kapitel 4 des Lehrtextes als pdf-Datei herunter.

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In den folgenden Kapiteln wird das Simulationsprogramm Doppelspalt häufig verwendet. Laden Sie sich dazu das Programm Doppelspalt.exe herunter.

Wie lade ich das Simulationsprogramm "Doppelspalt" herunter?

  1. Klicken Sie auf den unterstrichenen "Doppeltspalt.exe"-Link.
  2. Laden Sie Doppelspalt.exe in ein beliebiges Verzeichnis.
  3. Öffnen Sie das Programm Doppelspalt.exe und verkleinern Sie dessen Fenster, so dass die Windows-Task-Leiste sichtbar ist. Damit können Sie zwischen dem Lehrtext im Internet und dem Simulationsprogramm "Doppelspalt" hin und her wechseln.

4.1 Doppelspaltexperiment mit Lichtwellen

Fällt in einem abgedunkeltem Raum das Licht eines Lasers auf einen Doppelspalt, so sieht man das folgende Muster:

In der klassischen Optik wird das beobachtete Muster dadurch erklärt, dass von beiden Spalten Elementarwellen ausgehen und miteinander interferieren.

An Interferenzerscheinungen erkennt man das Wellenverhalten von Licht.

4.2 Das Doppelspaltexperiment mit einzelnen Photonen und die Wahrscheinlichkeitsaussagen der Quantentheorie

Starten Sie das Simulationsprogramm zum Doppelspaltversuch und führen Sie die in Abschnitt 4.2 des Lehrtextes beschriebenen Experimente 4.2 - 4.4 durch.

Nach dem Einschalten der Photonenquelle in der Simulation werden einzelne Photonen auf dem Schirm (s. linkes Bild oben) als  punktförmige "Flecken" nachgewiesen. Dabei scheint die Verteilung völlig zufällig zu sein. Es bildet sich erst allmählich nach dem Auftreffen sehr vieler Photonen ein Muster heraus, das dem bekannten Doppelspalt-Interferenzmuster mit Wellen (vgl. 4.1) entspricht.  

Würde man nun den Versuch anhalten und nur ein einzelnes Photon absenden, könnte man nicht vorhersagen, an welcher Stelle des Schirms es lokalisiert werden wird. Würde man jedoch z. B. 100 Photonen auftreffen lassen, wäre es sicher möglich, eine relative Abschätzung (Wahrscheinlichkeitsaussage) der Auftreffpunkte vorzunehmen.

Die Ergebnisse der Experimente lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Man kann kein Einzelergebnis (genaue Festlegung des Auftreffpunkts eines Photons) vorhersagen, sondern man ist gezwungen zu statistischen Aussagen (Verteilung vieler Photonen) überzugehen.

4.3 Präparation und Wahrscheinlichkeitsaussagen

In der klassischen Mechanik würden identisch präparierte (gleiche Geschwindigkeit, gleicher Winkel etc.), aber verschiedene Abwürfe z. B. eines Basketballs immer zum gleichen Auftreffpunkt, etwa des Korbes, führen. Die Ergebnisse sind reproduzierbar.

Auch wenn man Quantenobjekte, wie z. B. Photonen beim Doppelspaltexperiment, identisch präpariert (gleiche Energie, gleiche Emission von der Quelle), ist es hier jedoch nicht möglich, das Ergebnis der Messung für ein einzelnes Photon vorherzusagen - im Gegensatz zur klassischen Mechanik sind einzelne Ergebnisse nicht reproduzierbar.

Die relative Häufigkeit der an einem bestimmten Ort nachgewiesenen Photonen (ihre statistische Verteilung) ist jedoch vorhersagbar, da sich nach Durchführung des Experimentes an einer großen Anzahl von identisch präparierten Photonen eine reproduzierbare Verteilung nach der Wechselwirkung mit dem Doppelspalt auf dem Schirm ergibt.

In diesem Zusammenhang ist es nützlich, den Begriff des Ensembles einzuführen. Man bezeichnet damit eine Menge von sehr vielen gleich präparierten Objekten, die sich gegenseitig nicht beeinflussen.

Damit unterliegen Ensembles von Quantenobjekten in ihrem Verhalten Wahrscheinlichkeitsaussagen. Einzelereignisse können demgegenüber nicht vorhergesagt werden. Intuitiv-klassisch bezweifelt man, dass es dem Zufall überlassen bleibt, wo ein Photon auftrifft und man könnte argumentieren, dass  möglicherweise verborgene Parameter oder Eigenschaften bei der Präparation übersehen wurden. Wenn es gelänge, alle diese Merkmale zu erfassen, dann müsste es demnach möglich sein, den Auftreffpunkt eines einzelnen Photons genau vorherzusagen. Doch nach der Quantenmechanik gibt es eben kein Merkmal und keine zusätzlichen Parameter - eine "vollständigere" Präparation der Photonen ist nicht möglich. Wohl aber können statistische Aussagen über die relative Häufigkeit der Ergebnisse bei oftmaliger Wiederholung des gleichen Experiments gemacht werden. Das ist ein Wesenszug der Quantenmechanik.

Diese Wahrscheinlichkeitsdeutung der Quantenmechanik wird in der folgenden Lektion 5 "Elektronen als Quantenobjekte" vertieft. Dort wird behandelt, wie man mit der Wellenfunktion quantitative Wahrscheinlichkeitsvorhersagen treffen kann.

Stimmt es tatsächlich, dass in der Quantenmechanik keine Aussagen über Einzelereignisse möglich sind?

Hier können Sie sich Arbeitsblätter von J. Küblbeck herunterladen.

4.4 Selbstkontrolle

In diesem Kapitel waren die folgenden Inhalte von Bedeutung:

  • Umgang mit dem Simulationsprogramm Doppelspalt.
  • Was versteht man unter einem Ensemble von Quantenobjekten?
  • Welche Vorhersagen über den Auftreffpunkt der Photonen auf dem Schirm sind beim Doppelspaltexperiment möglich?

Bevor Sie zum nächsten Kapitel weitergehen, vergewissern Sie sich, dass Sie über die Grundzüge dieser Inhalte Bescheid wissen. Anschließend können Sie dies anhand der Zusammenfassung überprüfen.

4.5 Zusammenfassung

Statt eines Interferometers verwendet man nun den Doppelspaltversuch für die Interferenzversuche. Analog zu Lektion 3 geht man vom Lichtstrahl zu einzelnen Photonen über.

Es ist nicht möglich vorherzusagen, wo ein einzelnes Photon auftrifft. Betrachtet man aber viele Photonen, gelingt eine präzisere Vorhersage.

Die Quantenmechanik macht statistische Aussagen über die relative Häufigkeit der Ergebnisse bei oftmaliger Wiederholung des gleichen Experiments. Diese statistischen Aussagen sind reproduzierbar.

Ein Ensemble ist eine Menge von sehr vielen gleich präparierten Objekten, die sich gegenseitig nicht beeinflussen.

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